- Початкові умови. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту Розглянемо рух тіла в полі тяжіння Землі,...
- Дальність польоту і висота підйому тіла, кинутого під кутом до горизонту
- Приклади завдань з рішенням
Початкові умови. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту
Наша сеть партнеров Banwar
Розглянемо рух тіла в полі тяжіння Землі, опір повітря враховувати не будемо. Нехай початкова швидкість кинутого тіла спрямована під кутом до горизонту $ \ alpha $ (рис.1). Тіло кинуто з висоти $ {y = h} _0 $; $ X_0 = 0 $.
Тоді в початковий момент часу тіло має горизонтальну ($ v_x $) і вертикальну ($ v_y $) складові швидкості. Проекції швидкості на осі координат при $ t = 0 $ рівні:
\ [\ Left \ {\ begin {array} {c} v_ {0x} = v_0 {\ cos \ alpha, \} \\ v_ {0y} = v_0 {\ sin \ alpha. \} \ End {array} \ right. \ left (1 \ right). \]
Прискорення тіла дорівнює прискоренню вільного паления і весь час направлено вниз:
\ [\ Overline {a} = \ overline {g} \ left (2 \ right). \]
Значить, проекція прискорення на вісь X дорівнює нулю, а на вісь Y дорівнює $ a_y = g. $
Так як по осі X складова прискорення дорівнює нулю, то швидкість руху тіла в цьому напрямку є постійною величиною і дорівнює проекції початкової швидкості на вісь X (див. (1)). Рух тіла по осі X рівномірний.
При ситуації, зображеної на рис.1 тіло по осі Y буде рухатися спочатку вгору, а потім віз. При цьому прискорення руху тіла в обох випадках дорівнює прискоренню $ \ overline {g}. $ На проходження шляху вгору від довільної висоти $ {y = h} _0 $ до максимальної висоти підйому ($ h $) тіло витрачає стільки ж часу, скільки на падіння вниз від $ h $ до $ {y = h} _0 $. Отже, точки симетричні щодо вершини підйому тіла лежать на однаковій висоті. Виходить, що траєкторія руху тіла симетрична щодо точки-вершини підйому - і це парабола.
Швидкість руху тіла, кинутого під кутом до горизонту можна виразити формулою:
\ [\ Overline {v} \ left (t \ right) = {\ overline {v}} _ 0 + \ overline {g} t \ \ left (3 \ right), \]
де $ {\ overline {v}} _ 0 $ - швидкість тіла в момент кидка. Формулу (3) можна розглядати як результат складання швидкостей двох незалежних рухів за прямими лініями, в яких бере участь тіло.
Вирази для проекції швидкості на осі приймають вид:
\ [\ Left \ {\ begin {array} {c} v_x = v_0 {\ cos \ alpha, \} \\ v_y = v_0 {\ sin \ alpha -gt \} \ end {array} \ left (4 \ right ). \ right. \]
Рівняння для переміщення тіла при русі в поле тяжіння:
\ [\ Overline {s} \ left (t \ right) = {\ overline {s}} _ 0 + {\ overline {v}} _ 0t + \ frac {\ overline {g} t ^ 2} {2} \ left (5 \ right), \]
де $ {\ overline {s}} _ 0 $ - зміщення тіла в початковий момент часу.
Проектуючи рівняння (5) на осі координат X і Y, отримаємо:
\ [\ Left \ {\ begin {array} {c} x = v_0 {\ cos \ left (\ alpha \ right) \ cdot t, \} \\ y = {h_0 + v} _0 {\ sin \ left ( \ alpha \ right) \ cdot t- \ frac {gt ^ 2} {2} \} \ end {array} \ left (6 \ right). \ right. \]
Тіло, рухаючись вгору, має по осі Y спочатку равнозамедленно переміщення, після того, як тіло досягає вершини, рух по осі Y стає рівноприскореному.
Траєкторія руху матеріальної точки виходить, задана рівнянням:
\ [Y = h + x \ tg \ \ alpha - \ frac {gx ^ 2} {2v ^ 2_0 {cos} ^ 2 \ alpha} \ left (7 \ right). \]
За формою рівняння (7) видно, що траєкторією руху є парабола.
Час підйому і польоту тіла, кинутого під кутом до горизонту
Час, що витрачається тілом для того, щоб досягти максимальної висоти підйому отримують з системи рівнянь (4). . У вершині траєкторії тіло має тільки горизонтальну складову, $ v_y = 0. $ Час підйому ($ t_p $) дорівнює:
\ [T_p = \ frac {v_0 {\ sin \ alpha \}} {g} \ left (8 \ right). \]
Загальний час руху тіла (час польоту ($ t_ {pol})) $ знаходимо з другого рівняння системи (6), знаючи, що при падінні тіла на Землю $ y = 0 $, маємо:
\ [T_ {pol} = \ frac {v_0 {\ sin \ alpha + \ sqrt {v ^ 2_0 {sin} ^ 2 \ alpha + 2gh} \}} {g} \ left (9 \ right). \]
Дальність польоту і висота підйому тіла, кинутого під кутом до горизонту
Для знаходження горизонтальній дальності польоту тіла ($ s $) при заданих нами умовах в рівняння координати $ x $ системи рівнянь (6) слід підставити час польоту ($ t_ {pol} $) (9). При $ h = 0, $ дальність польоту дорівнює:
\ [S = \ frac {v ^ 2_0 {\ sin \ left (2 \ alpha \ right) \}} {g} \ left (10 \ right). \]
З виразу (9) випливає, що при заданій швидкості кидання дальність польоту максимальна при $ \ alpha = \ frac {\ pi} {4} $.
Максимальну висоту підйому тіла ($ h_ {max} $) знаходять з другого рівняння системи (6), підставляючи в нього час підйому ($ t_p $) (8):
\ [H_ {max} = h + \ frac {{v_0} ^ 2 {{sin} ^ 2 б \}} {2g} \ left (11 \ right). \]
Вираз (11) показує, що максимальна висота підйому тіла прямо пропорційна квадрату швидкості кидання і збільшується при зростанні кута кидання.
Приклади завдань з рішенням
приклад 1
Завдання. У скільки разів зміниться час польоту тіла, яке кинули з висоти $ h $ в горизонтальному напрямку, якщо швидкість кидання тіла збільшили в $ n $ раз?
Рішення. Знайдемо формулу для обчислення часу польоту тіла, якщо його кинули горизонтально (рис.2).
В якості основи для вирішення задачі використовуємо вираз для рівноприскореного руху тіла в полі тяжіння:
\ [\ Overline {s} = {\ overline {s}} _ 0 + {\ overline {v}} _ 0t + \ frac {\ overline {g} t ^ 2} {2} \ left (1.1 \ right). \]
Використовуючи рис.2 запишемо проекції рівняння (1.1) на осі координат:
\ [\ Left \ {\ begin {array} {c} X: x = v_0t ;; \\ Y: y = h_0- \ frac {gt ^ 2} {2} \ end {array} \ right. \ Left (1.2 \ right). \]
Під час падіння тіла на землю $ y = 0, $ використовуємо цей факт і висловимо час польоту з другого рівняння системи (1.2), маємо:
\ [0 = h_0- \ frac {g {t_ {pol}} ^ 2} {2} \ to t_ {pol} = \ sqrt {\ frac {2h_0} {g}} \ \ left (1.3 \ right). \]
Як ми бачимо, час польоту тіла не залежить від його початкової швидкості, отже, при збільшенні початкової швидкості в $ n $ раз час польоту тіла не зміниться.
Відповідь. Не зміниться.
приклад 2
Завдання. Як зміниться дальність польоту тіла в попередній задачі, якщо початкову швидкість збільшити в $ n $ раз?
Рішення. Дальність польоту - це відстань, яке пройде тіло по горизонтальній осі. Це означає, що нам потрібно рівняння:
\ [X = v_0t \ (2.1) \]
з системи (1.2) першого прикладу. Підставивши замість $ t, $ час польоту, знайдене в (1.3), ми отримаємо дальність польоту ($ s_ {pol} $):
\ [S_ {pol} = v_0t_ {pol} = v_0 \ sqrt {\ frac {2h_0} {g}} \ \ left (2.2 \ right). \]
З формули (2.2) ми бачить, що при заданих умовах руху дальність польоту прямо пропорційна швидкості кидання тіла, отже, у скільки разів збільшимо початкову швидкість, в стільки разів збільшиться дальність польоту тіла.
Відповідь. Дальність польоту тіла збільшиться в $ n $ раз.
Читати далі: закон сполучених посудин .
У скільки разів зміниться час польоту тіла, яке кинули з висоти $ h $ в горизонтальному напрямку, якщо швидкість кидання тіла збільшили в $ n $ раз?Як зміниться дальність польоту тіла в попередній задачі, якщо початкову швидкість збільшити в $ n $ раз?